Séparer les blancs des jaunes d'œufs. Dans un saladier, fouetter les jaunes avec le sucre en poudre jusqu'à ce que le mélange blanchisse.
Ajouter l'arôme de vanille (ou infuser une gousse de vanille dans le lait chaud pendant 10 minutes) et le rhum si souhaité. Mélanger au fouet.
Ajouter le beurre fondu en une seule fois et fouetter vigoureusement jusqu'à obtenir une préparation bien lisse.
Incorporer la farine en une seule fois. Partir du centre et mélanger au fouet en agrandissant progressivement le cercle pour éviter les grumeaux.
Ajouter le lait en deux fois : verser d'abord un gros tiers, mélanger délicatement puis accélérer, puis ajouter le reste du lait et fouetter à nouveau. La pâte doit être très fluide, comme une pâte à crêpes.
Monter les blancs en neige ferme avec une pincée de sel, en commençant à vitesse lente et en accélérant progressivement. Vérifier qu'ils tiennent bien.
Incorporer environ un quart des blancs en neige à la préparation et les mélanger au fouet pour détendre la pâte.
Ajouter le reste des blancs en neige et les incorporer délicatement à la maryse avec des mouvements circulaires de bas en haut pour conserver la structure aérienne.
Préchauffer le four à 160°C. Beurrer et fariner généreusement un moule de 22 cm (environ 5 cm de hauteur).
Verser la préparation dans le moule — la pâte liquide se répartit d'elle-même — et enfourner pour environ 50 minutes.
À la sortie du four, le gâteau sera légèrement tremblotant, c'est normal. Laisser refroidir complètement avant de démouler et de déguster. Saupoudrer de sucre glace avant de servir.