Pelez et coupez les pommes de terre en morceaux. Faites bouillir de l'eau salée dans une grande casserole, baissez le feu et plongez les morceaux de pommes de terre dans l'eau. Laissez-les cuire pendant 20 minutes environ jusqu'à ce qu'ils soient tendres. A la fin de la cuisson, égouttez-les de terre et versez-les dans un saladier.
Ecrasez-les en purée à l'aide d'une fourchette. Ajoutez un filet de lait puis un peu de noix de muscade en poudre, de sel et de poivre, selon vos goûts. Remuez jusqu'à obtenir une purée bien lisse et épaisse. Réservez.
Préchauffez le four à 180°C. Pelez et hachez finement l'oignon. Epluchez et coupez les carottes en petits dés.
Faites chauffer un filet d'huile d'olive dans une sauteuse. Déposez-y l'oignon haché et les dés de carottes, faites-les revenir pendant 15 minutes sur feu moyen en mélangeant régulièrement, jusqu'à ce qu'ils soient tendres.
Ajoutez la viande de boeuf hachée et laissez cuire encore 10 minutes. Salez et poivrez selon vos goûts. Quand la viande hachée est cuite, retirez la sauteuse du feu.
Versez la préparation à la viande hachée dans le fond d'un plat allant au four. Recouvrez-la avec la purée de pommes de terre réservée, en lissant bien la surface avec les dents d'une fourchette. Parsemez de noisettes de beurre, enfournez et laissez cuire 35 à 40 min, jusqu'à ce que le hachis parmentier aux carottes soit bien doré.